2. Вероятность события. Различные определения вероятности события.
Вероятность события. Каждому событию А ставится в соответствие число называемое вероятностью этого события Р(А). существуют несколько определений вероятности:

1)классическое. Пусть пространство элементар. событий яв-ся дискретным с равновозможными исходами испытания. Каждому элементарному событию Еi ставится в соответствие некоторое число Р(Еi) такое что Р(Еi)>=0. что сумма вероятности всех элемент. событий равна 1 (SР(Еi)=1) т.к. события в случае дискретного пространств элем. соб-ий то вероятность события А определяется как сумма вероятностей элементарных соб-ий составляющих это событие т.е. вероятность события А есть сумма вероятностей элем. соб-ий составляющий соб-ие А.Р(А)=S(ЕiÎА) Р(Еi).

А={Е2,Е4,Е6}, Р(А)=Р(Е2)+Р(Е4)+Р(Е6). I) пусть пространство W яв-ся конечным  множеством. W=U(W={E1,E2…En}); P(U)=1=P(E1)+…+P(En). P(En)=1/n; P(A)=m/n. 1°: 0<=Р(А)<=1; 2°: P(U)=1; 3°:P(V)=0. II) пусть W яв-ся конечным множеством с неравновозмножными исходами испытания. W={E1,E2…En}. Вероятность события А в этом случае так же определяется как сумма вероятностей элем. событий. III) имеем счетное множество равновозможных элем. событий  W={E1,E2…En,…}. Вероятность события А так же определяется как вероятность события А при первой схеме , т.е. сумма вероятностей элем. событий Р(А)=S(ЕiÎА) Р(Еi)= SPi; W с введенной вероятностью событий наз-ся дискретным вероятностым пространством. IV) пусть  W яв-ся несчетным (непрерывным) множеством элем. событий. В этом случае мы не можем определить событие как некоторое подмножество множества W так как операции на подмножествами приводят к множествам которые не принадлежат W, поэтому в пространстве W выделяется спец класс подмножеств операции над которыми приводят к подмножествам этого класса. Этот класс наз-ся полем и любое подмножество этого поля наз-ся событием. Это поле яв-ся замкнутым множеством относительно операций объединения, пересечения, дополнения и содержит само пространство W.

2)статистическое. Пусть проведено N испытаний и при этом интересующее нас событие А появилось в NА случаях. n(А)= NА/N – относительная частота событий. Св-ва частоты: 1°:0<=n(А) <=1;2°:n(U)=1;3°:n(V)=0;4°:А*В=V, n(A+B)= n(A)+ n(B). Определение: частота события А при условии что событие В произошло наз-ся условной частотой события А и обозначается n_В(А) или n(А|В). 5°:n(А*В)= n(В)* n_В(А)= n(А)* n_А(В). при увеличении числа испытаний N частота испытаний стремится к некоторому числу. Говорят при этом случае что частота обладает статистической устойчивостью. Это число берется ТВ за вероятность события А. Р(А)=lim_N®¥n(A). На практике вероятность события А мы берем относительную частоту события. Р(А)»n(А)=N_A/N.

Аксиомы вероятностей.

   Пусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз. Следовательно,

   Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B)

   Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом.

   Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию .

   Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

   Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

   Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то

   Событием, противоположным событию , называется событие , состоящее в ненаступлении события . Очевидно, события и несовместны.

   Пусть, например, событие состоит в том, что изделие удовлетворяет стандарту; тогда противоположное событие заключается в том, что изделие стандарту не удовлетворяет. Пусть событие — выпадение четного числа очков при однократном бросании игральной кости; тогда — выпадение нечетного числа очков.

   Теорема 1. Для любого события вероятность противоположного события выражается равенством

   Доказательство. Событие +, состоящее в наступлении или события , или события , очевидно, является достоверным. Поэтому на основании аксиомы 2 имеем Р(+)=1. Так как события и несовместны, то используя аксиому 3, получим Р(+)=Р()+P(). Следовательно, Р()+P()=1, откуда .

   Теорема 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

   Доказательство непосредственно следует из аксиомы 2 и теоремы 1, если заметить, что невозможное событие противоположно достоверному событию.