36.Дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ применяют для изучения влияния качественных признаков на количественную переменную. Например, пусть имеются k выборок результатов измерений количественного показателя качества единиц продукции, выпущенных на k станках, т.е. набор чисел (x₁(j), x₂(j), … , x_n(j)), где j – номер станка, j = 1, 2, …, k, а n – объем выборки. В распространенной постановке дисперсионного анализа предполагают, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение N(m(j), σ²) с одной и той же дисперсией. Проверка однородности качества продукции, т.е. отсутствия влияния номера станка на качество продукции, сводится к проверке гипотезы H₀: m(1) = m(2) = … = m(k). В дисперсионном анализе разработаны методы проверки подобных гипотез. Гипотезу Н₀ проверяют против альтернативной гипотезы Н₁, согласно которой хотя бы одно из указанных равенств не выполнено. Проверка этой гипотезы основана на следующем «разложении дисперсий», указанном Р.А.Фишером:  (1)  

 где s² – выборочная дисперсия в объединенной выборке,

т.е.                                          

Далее, s²(j) – выборочная дисперсия в j-ой группе,     

 Таким образом, первое слагаемое в правой части формулы (1) отражает внутригрупповую дисперсию.

Наконец,  - межгрупповая дисперсия,                                                                                   

Область прикладной статистики, связанную с разложениями дисперсии типа формулы (1), называют дисперсионным анализом. В качестве примера задачи дисперсионного анализа рассмотрим проверку приведенной выше гипотезы Н₀ в предположении, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение N(m(j), σ²) с одной и той же дисперсией. При справедливости Н₀ первое слагаемое в правой части формулы (1), деленное на σ², имеет распределение хи-квадрат с k(n-1) степенями свободы, а второе слагаемое, деленное на σ², также имеет распределение хи-квадрат, но с (k-1) степенями свободы, причем первое и второе слагаемые независимы как случайные величины. Поэтому случайная величина                   имеет распределение Фишера с (k-1) степенями свободы числителя и k(n-1) степенями свободы знаменателя. Гипотеза Н₀ принимается, если F < F_1-α, и отвергается в противном случае, где F_1-α – квантиль порядка 1-α распределения Фишера с указанными числами степеней свободы.  Такой выбор критической области определяется тем, что при Н₁ величина F безгранично увеличивается при росте объема выборок n. Значения F_1-α берут из соответствующих таблиц.